Binom katsayıları yalnızca birer katsayı mıdır?

Bu videoda görünüşte farklı gibi görünmelerine rağmen şaşırtıcı derecede benzer olan alt kümeler, bit dizileri, kafes yolları ve binom katsayıları gibi sayma problemlerini ele alıyoruz.

Not

Video içeriği ve aşağıda yer alan sorular, Oscar Levin’in (Levin 2024) harika kitabından türetilmiştir.

Yukarıdaki videoyu izlediyseniz şu sorulara yanıt vermek isteyebilirsiniz:

Alıştırmalar

1. \(S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\) olsun.

   1. Toplam kaç alt küme vardır?

   2. Kaç tane alt küme \(\{2,3,5\}\) alt kümesine sahiptir?

   3. Kaç alt küme en az bir tek sayı içerir?

   4. Kaç alt küme tam olarak bir çift sayı içerir?

2. \(S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) olsun.

   1. Kardinalitesi 6 olan kaç tane alt küme vardır?

   2. Kardinalitesi 6 olan kaç tane alt küme \(\{2,3,5\}\) alt kümesine sahiptir?

   3. Kardinalitesi 6 olan kaç alt kümesi en az bir tek sayı içerir?

   4. Kardinalitesi 6 olan kaç alt kümesi tam olarak bir çift sayı içerir?

3. \(A=\{1,2,3,4\}\) olsun.

   1. \(A\)’nın kaç tane alt kümesi vardır? Yani, \(| \mathcal{P} (A)|\)’yı bulun.

   2. \(A\)’nın kaç tane alt kümesi tam olarak 3 eleman içerir?

   3. \(A\)’nın kaç tane alt kümesi sadece çift sayı içerir?

   4. \(A\)’nın kaç tane alt kümesi çift sayıda eleman içerir?

4. Kaç tane 14 bitlik dizi (yani 14 uzunluğunda bit dizisi) vardır:

   1. \(011\) alt dizesi ile başlayan?

   2. Ağırlığı 5 olan (yani tam olarak 5 adet 1 içeren) ve \(011\) alt dizesi ile başlayan?

   3. Ya \(011\) ile başlayan ya da \(01\) ile biten (ya da her ikisi de)?

   4. Ağırlığı 5 olan ve \(011\) ile başlayan ya da \(01\) ile biten (ya da her ikisi)?

5. Kaç tane 10 bitlik dizi 4 veya daha fazla 1 içerir?

6. \(\{0,1, \ldots, 9\}\) kümesinin kaç tane alt kümesi 5 veya daha fazla kardinaliteye sahiptir?

7. \((x+3)^{17}\) açılımında \(x^9\)’un katsayısı kaçtır?

8. \((x+2)^{18}+x^4(x+3)^{21}\) açılımında \(x^6\)’nın katsayısı kaçtır?

9. Kaç tane en kısa kafes yolu \((5,5)\) noktasından başlar ve

   1. \((14,14)\)’de biter?

   2. \((14,14)\)’de biter ve \((12,9)\)’dan geçer?

   3. \((14,14)\)’de biter ve \((12,9)\)’dan geçmez?

10. \((x+y)^8\) açılımında \(x^5 y^3\) katsayısının neden \(x^3 y^5\) katsayısı ile aynı olduğunu açıklayınız.

SageMath

Her ne kadar sonraki videolarda \(\binom{n}{k}\) sayılarını hesaplayabilmek için bir formül verecek olsak da SageMath kullanarak bu sayıları kolayca hesaplayabiliriz. Bunun için binomial(n,k) komutunu vermemiz yeterli. Örneğin aşağıda “Hesapla (Sage)’’ düğmesine bastığınızda \(\binom{20}{5}\) sayısını hesaplamış olursunuz. Dilerseniz hücredeki değerleri değiştirerek farklı binom katsayılarını hesaplayabilirsiniz.

binomial(20,5)

Kaynaklar

Levin, Oscar. 2024. Discrete Mathematics. https://discrete.openmathbooks.org/dmoi3/dmoi.html.