Koşullu olasılıklar nasıl hesaplanır?
Video içeriği ve aşağıda yer alan sorular, Jonathan Weisberg’ün (Weisberg 2024) harika kitabından türetilmiştir.
Yukarıdaki videoyu izlediyseniz şu sorulara yanıt vermek isteyebilirsiniz:
Alıştırmalar
Sekiz yüzlü adil bir zarda 4’ten büyük bir sayı attığınıza göre çift sayı atmış olma olasılığınız kaçtır?
P(B)=4/10, P(A)=7/10 ve P(B\cap A)=2/10 olsun. Aşağıdaki olasılıklar kaçtır?
- P(A\mid B)
- P(B\mid A)
X şirketi tarafından üretilen tabletlerin \%5’i kusurludur. Bu oran Y şirketinde ise \%10’dur. Bir bilgisayar mağazası tabletlerinin \%40’ını X’ten, \%60’ını Y’den satın almaktadır.
Aşağıdaki soruları yanıtlamak için ağaç şeması çizin.
Mağazadan rastgele seçilen bir tabletin X tarafından üretilmiş olma ve kusurlu olma olasılığı kaçtır?
Mağazadan rastgele seçilen bir tabletin kusurlu olma olasılığı kaçtır?
Bu mağazadan alınan bir tabletin kusurlu olduğu göz önüne alındığında, X tarafından üretilmiş olma olasılığı kaçtır?
Bir A şehrinin B mahallesinde çok sayıda kimyasal tesis bulunmaktadır. A şehrindeki çocukların \%2’si B mahallesinde yaşamaktadır ve bu çocukların \%14’ü toksik düzeyde kurşuna maruz kalmıştır. Şehrin geri kalan yerlerinde çocukların sadece \%1’i toksik düzeyde kurşuna maruz kalmaktadır.
Aşağıdaki soruları yanıtlamak için bir ağaç şeması çiziniz.
A şehrinden rastgele seçilen bir çocuğun B mahallesinde yaşıyor olması ve toksik düzeyde kurşuna maruz kalmış olma olasılığı kaçtır?
A şehrinden rastgele seçilen bir çocuğun toksik düzeyde kurşuna maruz kalmış olma olasılığı kaçtır?
A şehrinden rastgele seçilen ve toksik düzeyde kurşuna maruz kalmış bir çocuğun B mahallesinde yaşıyor olma olasılığı kaçtır?
100 mahkumun ölüm cezasına çarptırıldığını varsayalım. Bunlardan 70’i A hücresinde, diğer 30’u ise B hücresinde kalmaktadır. A hücresindeki mahkumların 9’u masumdur. B hücresindeki mahkumlardan sadece 1’i masumdur.
Yasalara göre bir mahkumun affedilmesi gerekiyor. Şanslı mahkum, A veya B hücresinden seçilmek için adil bir yazı tura atılacaktır. Daha sonra seçilen hücreden rastgele bir mahkum seçmek için adil bir çekiliş yapılacaktır.
Affedilen mahkum masum ise A hücresinden olma olasılığı kaçtır?
Aşağıdaki sorulara yanıt vermek için bir ağaç şeması ve şu tanımlamaları kullanın:
X: Affedilen mahkum masumdur.
A: Affedilen mahkum A hücresindendir.
B: Affedilen mahkum B hücresindendir.
P(X\mid A)=?
P(A\cap X)=?
P(X\mid B)=?
P(B\cap X)=?
P(X)=?
P(A\mid X)=?
A, B ve C’nin bağımsız olduğunu ve her birinin olasılığının \dfrac 1 3 olduğunu varsayalım. P(A\cap B\cap C) kaçtır?
Aşağıdaki durumlardan hangisi mümkün değildir? Cevabınızı gerekçelendiriniz. (B^c, B olayının olumsuzudur.)
P(A)=1/2, P(A\mid B)=1/2, P(B\mid A)=1/2.
P(A)=1/2, P(A\mid B)=1, P(A\mid B^c)=1/2.
A ve B birbirini dışlıyorsa (yani A\cap B=\emptyset ise) P(A\cup B\mid C)=P(A\mid C)+P(B\mid C) eşitliği doğru olabilir mi? Cevabınızı gerekçelendiriniz.
Bağımsızlığın simetrik olduğu önermesini (A, B’den bağımsızsa, B de A’dan bağımsızdır) gerekçelendiriniz.
İpucu: A’nın B’den bağımsız olduğunu varsayarak başlayın. Ardında P(A\mid B)’yi yazın ve koşullu olasılığın tanımını uygulayın.
Elimizde 4 elma ve 10 kova olduğunu varsayalım. Her elmanın yerleşimi diğerlerinden bağımsız olacak şekilde her elmayı rastgele bir kovaya yerleştiriyoruz. E_{ij}, i’inci ve j’inci elmaların aynı kovaya yerleştirildiği olayı olsun.
E_{12}, E_{34}’ten bağımsız mıdır?
E_{12}, E_{23}’ten bağımsız mıdır?
Her E_{ij} olay çifti bağımsız mıdır?
E_{ij} olaylarının her üçlüsü bağımsız mıdır?
A mantıksal olarak B’yi gerektiriyorsa P(B\mid A)=1 olduğunu kanıtlayın.
Aşağıdaki üç koşulun geçerli olduğunu varsayalım.
P(A)=P(A^c)
P(B\mid A)=P(B\mid A^c)
P(B)>0
O zaman
- P(A\mid B)=P(A\mid B^c)=\dfrac 1 2
eşitlikleri doğru mudur? Evet ise iv.’nin geçerli olması gerektiğini kanıtlayın. Hayır ise, bir karşı örnek verin.
P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A) eşitliği her zaman geçerli midir? (Her iki koşullu olasığın da iyi tanımlanmış olduğunu varsayın.)
P(A\mid B)=P(B^c \mid A^c) eşitliği, her iki koşullu olasılığın iyi tanımlanmış olması varsayımıyla, her zaman geçerli midir? Evetse, kanıtlayın. Hayırsa bir karşı örnek verin.
Bir kutuda 30 siyah ve 70 beyaz bilye olduğunu varsayalım. Rastgele 5 bilye çekiyoruz. A, ilk dört çekilişten 3’ünün siyah olduğu olayı olsun ve B, beşinci çekilişin siyah olduğu olayı olsun. Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
\frac{P(A\mid B)}{P(B\mid A)}\cdot \frac{P(B)}{P(A)}